http://www.siteadi.com/haber/id/haberbasligi.htm şeklinde link tanımlandığı için sanırım resimleri haber klasörünün altında arıyor.

<asp:Image id="Image1" runat="server" ImageUrl='<%# "~/imgFiles/"+Eval("ResmAdi") %>'></asp:Image> şeklindeki tanımlamayı

<asp:Image id="Image1" runat="server" ImageUrl='<%# "http://siteadi.com/imgFiles/"+Eval("ResmAdi") %>'></asp:Image> şekline çevirirsen düzelecektir. Tahminim.

IHttpHandler yerine daha basite indirmek istersen global asax ile redirect işini görür.